Формулы по теории вероятности

Основные формулы комбинаторики

Число перестановок

Pn=n!=1⋅2⋅3⋅…⋅(n−1)⋅nPn=n!=1⋅2⋅3⋅…⋅(n−1)⋅n

Число размещений

Anm=n⋅(n−1)⋅…⋅(n−m+1)Amn=n⋅(n−1)⋅…⋅(n−m+1)

Число сочетаний

Cmn=AmnPm=n!m!⋅(n−m)!Cnm=AnmPm=n!m!⋅(n−m)!

Число перестановок с повторениями

Pn(n1,n2,…,nk)=n!n1!⋅n2!⋅…⋅nk!.Pn(n1,n2,…,nk)=n!n1!⋅n2!⋅…⋅nk!.

Число размещений с повторениями

A¯¯¯¯kn=n⋅n⋅…⋅n=nk.A¯nk=n⋅n⋅…⋅n=nk.

Число сочетаний с повторениями

C¯¯¯¯kn=Ckk+n−1=(k+n−1)!(n−1)!⋅k!

Классическое определение вероятности

P(A)=mn,P(A)=mn,

где mm — число благоприятствующих событию AA исходов, nn — число всех элементарных равновозможных исходов в испытании.

Вероятность суммы событий

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)

Теорема сложения вероятностей совместных событий:

P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)

Вероятность произведения событий

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

P(A⋅B)=P(A)⋅P(B)P(A⋅B)=P(A)⋅P(B)

Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

P(A⋅B)=P(A)⋅P(B|A),P(A⋅B)=P(B)⋅P(A|B).P(A⋅B)=P(A)⋅P(B|A),P(A⋅B)=P(B)⋅P(A|B).

P(A|B)P(A|B) — условная вероятность события AA при условии, что произошло событие BB,

P(B|A)P(B|A) — условная вероятность события BB при условии, что произошло событие AA.

Формула полной вероятности

P(A)=∑k=1nP(Hk)⋅P(A|Hk),P(A)=∑k=1nP(Hk)⋅P(A|Hk),

где H1,H2,…,HnH1,H2,…,Hn — полная группа гипотез.

Формула Байеса. Вычисление апостериорных вероятностей гипотез

P(Hm|A)=P(Hm)⋅P(A|Hm)P(A)=P(Hm)⋅P(A|Hm)∑k=1nP(Hk)⋅P(A|Hk),P(Hm|A)=P(Hm)⋅P(A|Hm)P(A)=P(Hm)⋅P(A|Hm)∑k=1nP(Hk)⋅P(A|Hk),

где H1,H2,…,HnH1,H2,…,Hn — полная группа гипотез.

Формула Бернулли

Pn(k)=Ckn⋅pk⋅(1−p)n−k=n!k!⋅(n−k)!⋅pk⋅(1−p)n−kPn(k)=Cnk⋅pk⋅(1−p)n−k=n!k!⋅(n−k)!⋅pk⋅(1−p)n−k

вероятность появления события ровно kk раз в nn независимых испытаниях, pp — вероятность появления события при одном испытании.

Наивероятнейшее число наступления события

Наивероятнейшее число k0k0 появления события при nn независимых испытаниях (где pp — вероятность появления события при одном испытании):

np−(1−p)≤k0≤np+p.

Приближенная формула Пуассона

Если число испытаний nn велико, и при этом вероятность pp наступления события в каждом испытании крайне мала, так что выполняется условие np<10np<10, можно применять формулу Пуассона:

Pn(k)=λkk!⋅e−λ.Pn(k)=λkk!⋅e−λ.

Здесь λ=n⋅pλ=n⋅p обозначает среднее число появлений события.

Локальная формула Лапласа

Pn(k)=1npq−−−√φ(k−npnpq−−−√)Pn(k)=1npqφ(k−npnpq)

вероятность появления события ровно kk раз при nn независимых испытаниях, pp — вероятность появления события при одном испытании, q=1−pq=1−p.
Значения функции φ(x)φ(x) берутся из таблицы.

Интегральная формула Лапласа

Pn(m1,m2)=Φ(m2−npnpq−−−√)−Φ(m1−npnpq−−−√)Pn(m1,m2)=Φ(m2−npnpq)−Φ(m1−npnpq)

вероятность появления события не менее m1m1 и не более m2m2 раз при nn независимых испытаниях, pp — вероятность появления события при одном испытании, q=1−pq=1−p.
Значения функции Φ(x)Φ(x) берутся из таблицы.

Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности

P(∣∣mn−p∣∣≤ε)=2Φ(ε⋅n−−√p(1−p)−−−−−−−√)P(|mn−p|≤ε)=2Φ(ε⋅np(1−p))

εε — величина отклонения, pp — вероятность появления события.